Konstruktion eines Pentagramms mit Zirkel und Lineal

Hier möchte ich eine einfache Möglichkeit zeigen, ein Pentagramm mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Dabei ist es schon beachtlich, dass keinerlei Skalierung (in Form von Zentimeter- oder Winkelangaben) notwendig ist. Einzige Voraussetzung ist eine gewählte Strecke mit beliebiger Länge, von der aus die Konstruktion aufbaut.

Gezeichnet sind meine Schaubilder mit Geonext, einem außerordentlich schönen und benutzerfreundlichen Programm, welches außerdem der GNU (General Public License) unterliegt :

Geonext ist die dynamische Mathematiksoftware, die die Bereiche Geometrie, Analysis und Algebra unter einer einheitlichen Oberfläche vereint.

Zur besseren Ansicht der Bilder, bitte anklicken.

 

 

Und jetzt zur Konstruktion:

Gegeben sei eine Strecke [AB] mit beliebiger Länge.

Ziel des ersten Schrittes ist es, ein Seitenverhältnis im Goldenen Schnitt zu konstruieren (Verfahren mit „äußerer Teilung“) , welches dominant für Pentagramme ist und die meisten Verhältnisse hier beschreibt.

Dazu trage man die Strecke [AB] auf der Senkrechten in B (in Form eines Kreises mit Radius [AB]) ab.

Schnittpunkt ist dann L(AB) –> selbe Länge wie [AB].

Nun zeichne man einen Kreis um den Mittelpunkt von [AB], also um M(AB), durch L(AB) mit Schnittpunkt C auf der Geraden durch die Strecke [AB].

B teilt nun AC im Goldenen Schnitt (deswegen Verfahren äußerer Teilung):

Penta1
Um auch noch den zweiten Punkt zu erhalten, der [AC] im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt, trage man Strecke [AB] an C an, man umkreise also C mit Radius [AB] und nenne den neuen Punkt innerhalb von [AC] dann D, der ebenfalls [AC] im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt:

Penta2

Dies sind die Ausgangsverhältnisse, von denen aus nun ein Pentagramm ohne große Umstände konstruiert werden kann:

Penta3
Man zeichne nun Umkreise mit Radius [AD] (=[BC]) um A und C, und solche mit Radius [DB] um D und B:

Penta4
Benötigte Schnittpunkte sind hier E und F (nach Skizze):

Penta5
Letzter Schritt ist es nun die Geraden durch [AE], [DE] und [BF], [CF] zu zeichnen:

Penta6

Das fertige Pentagramm kann nun natürlich noch mit einem Umkreis versehen werden.

Den Mittelpunkt erhält man mit dem Schnittpunkt von zwei Winkelhalbierenden (Gerade durch Punkt des Fünfecks und gegenüberliegenden Eckpunkt des Sternes) des inneren Fünfecks:

Penta7
Nun noch einen Kreis durch den Mittelpunkt M durch eine der Sternecken:

Penta9

Hier das fertige Pentagramm mit Umkreis und ohne vorher benötigte Konstruktionshilfen:

Penta10

Anmerkungen:

  • Der Name Pentagramm kommt aus dem Griechischen „pentágrammos“ = mit fünf Linien
  • Punkte werden allgemein mit Großbuchstaben bezeichnet, z.B. A, M, L(AB)
  • Strecken zwischen zwei Punkten A und B werden allgemein mit [AB] bezeichnet (auch bei Kreisradien)
  • Senkrechte und Winkelhalbierende können ebenfalls (nur) mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruiert werden, was hier allerdings nicht extra aufgezeigt ist
  • Durch das Verbinden von Punkten des inneren Fünfeckes entsteht im Inneren ein weiteres Pentagramm, ebenso kann man außerhalb eines konstruierten Pentagramms ein nächst größeres anfügen
  • folgende Seitenverhältnisse im Goldenen Schnitt findet man im Pentagramm:

1. [AD] zu [DB]

2. [AJ] zu [JI]

3. [HG] zu [HF]

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